微分と多項式のアナロジー
この件に関して,まだ何もまとまってないんですけど.
$$
\begin{align}
&\left\{\begin{aligned}
(fg)'&=f'g+fg'\\
(fg)''&=f''g+2f'g'+fg''
\end{aligned}\right.\\
&\left\{\begin{aligned}
(x+y)&=x+y\\
(x+y)^2&=x^2+2xy+y^2
\end{aligned}\right.
\end{align}
$$
とか.ほかにも,
$$
\begin{align}
&\left\{\begin{aligned}
(f'g-fg')'&=f''g-fg''\\
(fg''-f'g'+f''g)'&=fg'''+f'''g
\end{aligned}\right.\\
&\left\{\begin{aligned}
(x+y)(x-y)&=x^2-y^2\\
(x+y)(x^2-xy+y^2)&=x^3+y^3
\end{aligned}\right.
\end{align}
$$
などがあります.
もちろん二項定理とライプニッツ則のおかげと言えばそれまでなんですが,
何かもっと深いものが根底にある気がしますね.
線形作用素とか,そういう言葉で説明できそうな気がします.