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moguestの思いつき備忘録

ふと思いついたことや見知った数理工学系の知識をためていく予定のブログです.面白ければなんでもあり.

微分と多項式のアナロジー

この件に関して,まだ何もまとまってないんですけど.

微分多項式にはアナロジーがありますよね.たとえば,

$$
\begin{align}
&\left\{\begin{aligned}
(fg)'&=f'g+fg'\\
(fg)''&=f''g+2f'g'+fg''
\end{aligned}\right.\\
&\left\{\begin{aligned}
(x+y)&=x+y\\
(x+y)^2&=x^2+2xy+y^2
\end{aligned}\right.
\end{align}
$$

とか.ほかにも,

$$
\begin{align}
&\left\{\begin{aligned}
(f'g-fg')'&=f''g-fg''\\
(fg''-f'g'+f''g)'&=fg'''+f'''g
\end{aligned}\right.\\
&\left\{\begin{aligned}
(x+y)(x-y)&=x^2-y^2\\
(x+y)(x^2-xy+y^2)&=x^3+y^3
\end{aligned}\right.
\end{align}
$$

などがあります.
もちろん二項定理とライプニッツ則のおかげと言えばそれまでなんですが,
何かもっと深いものが根底にある気がしますね.
線形作用素とか,そういう言葉で説明できそうな気がします.