友円数の作り方
(8,3,7),(8,5,7),(5,3,7),…
この数の並びをご存知でしょうか？
この数を3辺の長さに持つ三角形は，どこかに60°または120°が現れることが知られています．
これらの数の組を友円数と呼ぶ人もいます（正式名称ではない？）
楽に60°が作れるため，高校受験問題やセンター試験なんかではとても頻出です*1．
(3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), …
はピタゴラス数と呼ばれていますが，こちらを3辺の長さに持つ三角形は直角三角形でしたね．
そういう意味で，友円数はピタゴラス数の変形版ということができます．
ピタゴラス数には「作り方」がありました．自然数$(a,b)$に対して
\[
(a^2-b^2, 2ab, a^2+b^2)
\]
はピタゴラス数になることが知られています．たとえば$(a,b)=(2,1),(3,2)$だとそれぞれ$(3,4,5),(5,12,13)$が出てきます．
実はそれと同様に，友円数にも作り方があります．
というか，作り方を僕自身が高校ぐらいの時に編み出しました．$(a,b)$に対して
\[
(|2ab-a^2|,|2ab-b^2|,a^2+b^2-ab)
\]
は友円数になります．$(a,b)$が2倍以上離れていないとき（たとえば$(2,3)$など）は60°の三角形が，
そうでないとき（$(2,5)$など）は120°の三角形ができます．
片方がもう片方の丁度2倍の関係になっていると，三角形ができないので注意してください．
たとえば$(a,b)=(2,3),(1,3)$のときはそれぞれ$(8,3,7),(5,3,7)$が出てきます．
どうしてこれで友円数ができるのか，については紙面がかさむのでひとまず割愛*2…
残念ながら当時の僕は「これで友円数ができる」ことは示せたものの，
「これですべての友円数の組を尽くせるかどうか」はまだ示していません．
このことに関してはちょっと気になるところですね．
あと，どうやら僕の考えた方法以外にも，友円数の作り方はあるらしいです．
他の作り方との関係を考えてみるのも面白いかもしれませんね．
