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moguestの思いつき備忘録

ふと思いついたことや見知った数理工学系の知識をためていく予定のブログです.面白ければなんでもあり.

ユニタリ―行列を用いた行列の三角化について

久しぶりに線形代数の本を読んで知ったこと.

正則行列を用いた相似変換によって任意の行列をジョルダン標準形に直せるとか,
正則行列を用いた合同変換によって任意の対称行列をシルベスターの標準形に直せるとか,
そういう話は聞いたことがあったんですが,

ユニタリ―行列を用いた相似変換によって任意の行列を上三角行列に直せる

というのは知りませんでした.有名な話なんでしょうか.
ぼくが偶然持っていた2冊の本を確認してみましたが,多少表現は違えど確かに載ってるんですよね.

しかし,この定理を使えば対称行列がユニタリ―行列で対角化されるということを非常に簡単に証明できるため,割と重要な定理なのは間違いないですね.
というか数年前の僕は,上の事実を知らないでどうやって対称行列の対角化を理解していたんだろう.

最近カメラキャリブレーション的な話を考えることが多いんですが,
上三角行列+直交行列(ユニタリー行列)のコンボは見たことがあるような?
内部パラメータを表す行列は上三角,カメラのorientationを表す行列には回転を表す直交行列が入ってますね.
キャリビュレーションのアルゴリズムと何か関係があるのかな.